GCF-LCM 和分数通约分 — 游戏找规律,运算不觉难

分数运算的学习,涉及到两个重要方法:约分和通分。相关的两个概念,是最大公约数(GCD, or GCF – Greatest Common Factor) 和最小公倍数 (LCM – Least Common Multiple)。这两个概念是分数教学中的难点。能不能让孩子学得不那末痛苦呢?可以,我们可以引入一些数学活动或者游戏。

下面介绍在美国老师(当然是好老师)作的一个 GCF-LCM 游戏: 也可叫最简分数游戏。是一套实验教材中介绍的,下图是游戏的基本图式。给定两个数一左一右,公倍数LCM 写在上方,公约数 GCF写在下方。GCFLCM-diag - 1

也许你说,这叫啥游戏啊?除了GCF和 LCM 的概念外,没带来新东西。也没有变化,没趣。其实不然。
我们先看求最小公倍数(LCM)的一个快捷方法:给两个数,先找GCF,然后从一个数中把GCF约去,再去乘另一个数。如求21 和 28 的LCM。找到GCF 是7,从28中约去7 得4,再用4去乘21,结果是 84. — 这就是他们的 LCM。有的学生从玩游戏中发现了这个规律。由于在图示的框架下,两个数以及GCF,LCM写在了菱形的四角上,在老师启发下学生是可以观察到规律的。在发现这个规律前,孩子通常做的是:

21 的 公倍数:21,42,63,84,105 ……
28 的 公倍数:28,56,84,112 ……

圈出两个序列中相同的第一个数,就是 LCM。没有相同的,就延伸序列再找。

我们的快捷方法是不是要快得多?而且从算法上是“安全”的:如果找到的公约数不是最大的,仍然可依此算出一个公倍数,只不过不是最小的;找到的公约数太大呢?包含了不应计入的因子;那末做约分(除法)时就发现了问题:赶紧回去订正公约数。

再往前走一步,有人注意到菱形的两个对角线上的乘积相等吗?这是必需的,否则一定填写有误啦!就是说 LCM(a,b) 乘以 GCF(a,b) 的乘积一定是 ab.

稍微变一下问题。A. 如果给出两个数中的一个,再给出他们的GCF,能否求出 LCM呢?B. 给出两个数中的一个和他们的LCM,能否求出 GCF呢?
问题A可以作出好多的(无穷个)解:给出了GCF 后,我们要求另一个数要含GCF 以及不含已经在这数中的其他因子,除此以外别无限制。这样LCM有好多可能性。例如给出了一个数是21,两数的GCF是7;那末另一个数必须含因子 7,不能含因子3;但是可含因子 11,13, 或者 11 x 49,都是允许的。满足条件的一个解可能是 7 x 11 x 49: 这样的解就太多了。
问题B一般也会有多解:但是解的个数有限。因为给出了LCM,就限制了两个数都不能太大(起码不能比所给的 LCM 更大吧)。如给出一个数是28,两数的LCM是84. 注意到84 = 28 x 3, 这个3 不是28 的因子;所以一定要出现在另一个数中。这个数的其他因子一定要来自28 的因子;如 2,4,7,14 还有28. 所有可能的解是 3,6,12,21,42 和84. 这些数和 28 的LCM 是84. 至于GCF呢,就分别情况来求吧。

net-CF-CM - 1看一下GCF – LCM 网。游戏变得更有趣一些了![这类游戏编写的一个拿手好戏,就是通过组合创造一些复杂性,增加一些建立在简单基础上的挑战;增加的一点波澜,会刺激孩子的兴趣,及学会观察思考,学会自己思考解决问题。]
如图所示,要在三个圈里填数:按照基本图示理解:两数的GCF 是1, LCM 是 28. 数28 和 第三数的LCM 是 112,二者的GCF 是刚才提到的两数之一。注意至少给出一个LCM 是很重要的,否则有无穷解 (无法定解)。上例是最简单的 GCF – LCM 网,通过更多的链接,可以造出更复杂的网(也别太复杂,适可而止)。

从教育角度说两句。为啥不直接使用分数计算作题海训练呢?一是引入变化增加了趣味性,让孩子爱做配合训练;二是通过图示框架观察找规律,孩子在启发下自己发现规律才印象深,也学会思考;第三:图上作业和单用数字文字比,更有意思,也在反复中比较 GCF 和 LCM 的区别和联系;达到概念清晰,熟练基本技巧–- 其实掌握任何技巧都需要一定量的训练。学习和训练中有阈值原理,要达到定量超越阈值,学习成果才能巩固下来。说明一点: LCM 和 GCF 的概念需要在游戏前介绍 — 最好配有例子; 这个游戏不是用来讲概念的,也是为了复习概念,再熟悉计算提高运算技巧。
最后同样重要的一点,研究思维科学的人特别强调简单图示的意义:在概念形成阶段,图示能在框架下简单清晰地表达概念联系,让我们的思维聚焦。等到完全想好后再用文字写清楚。这个原理在游戏中得到了应用。 游戏作玩后告诉学生GCF,LCM 的直接应用是分数计算:这时作分数计算(通分约分)就不畏难了,还觉得兴趣盎然。[还有的老师是先教了通分约分再来介绍这个游戏 — 这样学生们可以通过游戏熟悉 GCF,LCM 的概念和计算。] 学生们对于概念的理解更加深入,计算能力也有提高 — 算得更快!

留给读者一个问题。

prbl-LCMGCF - 1 您能完成左边的问题吗?还有前面给出的 GCF-LCM 网的那个问题?
左边问题的解释是(回忆基本图示):求一个数,与 22 的最小公约数是242;并且求出其与22 的最大公约数。提示:答案不唯一。

数学新实验教材: Beast Academy 小学教材最新出版 Math 5B

数学新书 新实验教材: Beast Academy 今年春天最新出版 Math 5B

Beast Academy 花费数年精力打造实验教材,陆续推出了Math 1-4用于小学1-4 年级数学,并在去冬今春推出了 Math 5A 5B, 其中 Math 5B 刚刚发布 (2016.4月底)。经了解 Math 5C 5D 也将在不久推出。这套书在美国出版,里面融入了不少新鲜的教育理念,特别是通过丰富的数学活动和游戏,强化重点,突破难点,寓教于乐。有不少可圈可点之处。尤其可贵的是,数学活动和游戏的引入不是单摆浮搁,而是与教学知识点紧密结合。通过启发的方式引导孩子乐于探索。在教材各书内容的衔接上也有严谨的处理,有前瞻性的内容,也有温故知新的内容。在美国的一些教育和经济相对先进的地区(如硅谷的湾区),这套教材成为了学生,教师和家长的热追。

Math 4B, 4C, 4D, 5A 的部分内容,在Jonah‘s Math Corner 今年一月份起开设的 5 年级数学班上试用,学生和家长都觉得有意思,给出了积极正面的评价反馈。Math 5B 开始大大强化了分数教学(Fraction,如 5/12 + 2/15 = ?)的内容,启发孩子把计算和思考逻辑联系起来,使用的平台仍然是数学活动和游戏。内容上比较北美的其他教材要深一些,但是不枯涩,反而妙趣横生,又循循善诱,启人深思。孩子作为学习者的好奇心一旦被调动起来,就会乐学,愿意和主动去做更多的问题。这也正是在我们在试用之中发现的。

Math 5B 5C 5D 出全以后,从内容上完全覆盖了小学教学的知识点(按照加西,或者Alberta 的大纲,已经覆盖到 6 年级以上内容),并有所超越。这样一套培养孩子兴趣,长知识又长能力的教材,值得向小学生和家长们推荐。也要指出,启发性的教材,其实是对教师提出了更高的要求。因此用这套教材,应在懂得数学教育的老师带领下学习。感谢编写者的努力!在当前作数学数学教育不易,编者能够锲而不舍,把这件事做下去做好。我们也期待这套教材的出版和试用,能帮助更多孩子,从小爱学习,真正掌握数学的方法。

在近期,Jonah’s Math Corner将会结合这套书的内容,就怎样把数学活动,游戏和学习数学概念方法相结合,作一点具体的,导引式的介绍。