看下面这个图，请！

很有趣，是不是？

这个图有一个圆，圆内接的一个正方形，再加上那个正方形旋转45度以后的新正方形 组成的。其他不过是线和线，线和圆弧的交点而已。这个图其实不复杂，但是蛮有趣。

两个正方形的边是相交的，得到 8 个顶点。把这些顶点依照顺序连接起来，我们得到一个八边形。请参看上图 （如果看不清，点击放大）， 原正方形ABCD 和 旋转45度后的新正方形 A₀B₀C₀D₀ 交于 8个点： 按顺序连起来，得到八边形 E1E2F1F2G1G2K1K2. 这个八边形是一个正八边形　（即所有边的长度相等，所有内角的角度相等），你能证明吗？

利用对称性加上旋转的性质，很容易找出若干全等的三角形。由全等形的对应边相等，对应角相等就能得到正八边形的结论。（提示：旋转４５度在这里起了关键作用。正方形的４个顶点把圆周分成四段，每段９０度；４５度刚好一半。如果旋转９０度新正方形和旧的重合，旋转４５度交点构成正八边形。如果旋转的是　0-90度之间任何其他角度，交点也构成一个八边形，但不会是正八边形。）

大一点的正八边形是把原来正方形和新的正方形的顶点交替连接起来，于是得到　ＡＡ_０ＢＢ_０ＣＣ_０ＤＤ_０ .　类似地，可以说明这是一个正八边形。

八边形的英文叫做　Ｏｃｔａｇｏｎ，和它类似的有个词Ｏｃｔｏｐｕｓ　章鱼，因章鱼有八条腿。Ｗｏｗ，我们做出了正八边形　（联想：章鱼）！

下面来看两个有趣的面积计算。给定原来正方形的边长等于２，那末，

１）　正八边形　E1E2F1F2G1G2K1K2　的面积是多少？

２）　正八边形　ＡＡ_０ＢＢ_０ＣＣ_０ＤＤ_０　的面积是多少？

我们先看第一个问题：　注意到正八边形　E1E2F1F2G1G2K1K2　的面积是正方形的面积减去四角上的四个小三角形面积；而这些小三角形是全等的。小三角形（比方说　等腰直角三角形Ｅ_１Ｂ_０Ｅ_２, 在顶上的图里，就是角上浅蓝色的小三角形）　的边长呢？这个要稍微用点劲。

注意到　Ａ_０ Ｋ_２　：　Ｋ_２Ｅ_１　：　Ｅ_１Ｂ_０ = 1 : sqrt 2 : 1, 其中 sqrt 2 是２的平方根，大约是　１．４１４，　或者７／５．　我们只要把 A₀B₀ = 2 分成　(1＋sqrt 2 + 1) 份，取出　１份，就是Ｅ_１Ｂ_０ 的长度。而Ｅ_２Ｂ_０ ＝ Ｅ_１Ｂ_０ = 2 ÷ (1＋sqrt 2 + 1). 所以等腰直角三角形Ｅ_１Ｂ_０Ｅ_２ 的面积就可以算出了（直角边相乘，别忘了除以二）。把这个面积乘以４，从正方形里减去，就是八边形面积的答案。刚刚我们完成了什么？八边形的面积计算！一点不难，是不是？

好了，我们把第二个问题：

２）　正八边形　ＡＡ_０ＢＢ_０ＣＣ_０ＤＤ_０　的面积是多少？

留给读者思考。