黄金分割比 1.618 …… 的故事和应用

分比 (两个数的比)本质上就是分数,分比是两个线段长度的比。有什么好说的呢?黄金分割比就是很特别。

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上面是简单图形中一些线段长度的比。有共同的地方吗?有的。这些图中所列的比都是一个共同的数:黄金分割比 1.618 …… (无尽不循环小数),如左图中, (a+b) : a = a : b = 1.618 …… 对于右图做点解释:外围是正五边形,里面有个正五角星,而五角星边交点又构成了个新的正五边形。从这图我们可以列出两对线段长的比(红线长 : 绿线长,和蓝线长 : 粉线长)?你猜对了,它们的比也是黄金分割比 1.618 …… 。

Fibonacci-GoldR这上面是一个很有趣的分数序列。它很有规律:每个分数的分母等于前一个分数的分子,再仔细点看:其分子是前一个分数分子分母相加的和。在前端再添加三项,规律会更加明显了:

1 ⁄ 1, 2 ⁄ 1, 3 ⁄ 2, 5 ⁄ 3, 8 ⁄ 5, ……

如上所说,该序列收敛到 1.618 …… 即黄金分割比。

(如果不确定什么叫收敛,就是说沿序列往后走时,所有的数可能时小时大,但是会越来越接近目标数 — 在本例中为黄金分割比)。

博学而聪明的读者已经联想到了 Fibonacci(斐波那契)序列:一点不错,Fibonacci序列和黄金分割比有着太紧密的联系;为简明记就不再展开了。

黄金分割比有很多应用。所以专门保留了一个记号:常数 Phi (希腊字母 φ ) 。有人认为它是深藏在自然背后的一个数。举个例子。

通过对于植物叶子的研究,发现两片叶子如果相邻(这里相邻的意思是前后脚跟着长出来),

Phi-1st fibonacci flower-02Leaf-Growth-13其间的角度和 φ 有关,具体点,相邻叶片间的角度 α 可用下式算:(角度单位是度)

α = 360 ⁄ (n φ )(计算式1),或者 α = (360 φ) ⁄ n (计算式2)
其中n 是正整数,常取 2 或 4. 若在(1)式中取 n = 2 得到约为 111 ̊ 15′ , 而若在(2)式中取 n = 4 则约为 145 ̊ ,这些数字在观察中得到证实。

艺术是自然的反映。所以艺术审美中也有黄金分割比。人体的比例,焦点的位置,小到长方形的长宽比等等。通过实际作品和实验心理学这一点也得证实。

回到数字 φ 本身。中文顺口溜可以记住 φ 的小数点后头十位数字:
φ = 1. 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 .. ..
一路要发,顶上山,玖发发吃 ……
有点俗:是通俗,不是鄙俗。φ 这个数还有什么特点呢?有的。

(1 ⁄ φ) = 0.618 033 988 7 .. ..
φ = 1.618 033 988 7 .. ..
φ 2 = 2.618 033 988 7 .. ..
上面三行的右侧,小数点后面所有的数字都完全一样,毫发不差!是不是叫人惊奇?在数学上这可以严格地导出。

最后,还和另外两个数,sqrt 5 以及 π 都有关联。我们有:
2 φ – 1 = sqrt 5 (即是 5 的平方根)

(5 ⁄ φ) < π < 2 φ
这些关联式后面的道理,就值得另外讨论了。

本篇完成时正值 6 月18 日。因为圆周率 π = 3.14 …… 3 月14 日被命名为 Pi 日,那因为 (1 除以 φ) = 0.618 ..是不是可以把 6 月18 日 命名为 Phi 日, 成为全球数学爱好者和学习者的又一个节日?在父亲节的时候,为人父者也可以给孩子们讲讲 Phi (φ) — 黄金分割比的故事啦。