竞赛问题：正整数的关联Murray数

(English version is being prepared and corrected – to be posted soon)

你听到过正整数的关联Murray数吗？其实是一个蛮有趣的问题，基础在于完全平方数的简单推理–简单归简单，可是要严密哦！今年的CIMC（加拿大中级数学竞赛 – 9，10年级组）就出了这样的问题。

先来看一下定义：

For each positive integer n, the Murray number of n is the smallest positive integer M, with M >n, for which there exists one or more distinct integers greater than n and less than or equal to M whose product times n is a perfect square.

对于正整数n, 指定n 的（关联）Murray数是有如下性质的正整数中最小的那个：存在一或多个不同的大于 n 但不超过M的整数， 这些数的乘积 再乘上 n 得到一个完全平方数。

— 本文注：（关联）Murray数可就叫Murray 数。“关联”一词主要强调 Murray 数 M和给定整数n 间是一个数学关系。完全平方数就是整数的平方，如1, 4, 9, 16, 25, .. 一直下去。

例子：3 × 6 × 8 = 12², 且找不到一或多个大于3 但是都比8更小的整数使其积再乘3是完全平方。

这个定义要多读两遍，确保理解。定义是写在题目开头的，所以无需事先知道，但是做题前一定要弄清意义。然后看下面的–就是CIMC 的问题 。

（甲）6 的 Murray 数被发现是 12。说明为什么。

（乙）决定 8 的 Murray 数。

如果稍有点数学底子，这似乎不是难题，尤其问题（甲），看来唾手可得。主要的挑战！其实是在严密上。（“说明为什么”就是证明的意思。）

比如这样的说明：因为 6 × 8 × 12 = 576 = 24² 而且 6 < 8 < 12, 所以 12 合乎Murray数的定义。注意了！这个说明有点问题。因为按定义，任何数的关联Murray数只有一个，要尽量的小。所以验证 12 符合条件还不够，必得说明在6 和12之间其他的数(有 7, 8, 9, 10, 11)都不行，从而排除。

现在说明 7 （或 11）不能成为 6 的Murray数。他们不能在定义的完全平方式中出现。小于7的数字不能含素数因子7，所以7再次出现要等以后（至少等到14 吧）。11 是同样道理。9 是完全平方，假使在完全平方式中现身，那末去掉因子9以后还是完全平方数。8 和10 也不行（理由从略）。

现在来看问题（乙）。答卷中有认为 8 的Murray 数是18 的，理由是：

8 x 18 = 12 ²
或 8 x 9 x 18 = 36 ²

而 9 或 18 都大于8，且不超过18 。

这解不正确！有些细节可能被忽略了。第一是Murray 数只有一个，是满足如此如此性质中最小的那个。以上验证不足说明 8 的Murray 数是 18，只是说明Murray数肯定小于 18 （依定义也知大于8）。此外在 完全平方的表达式中应有几个因子？定义里没说，唯一要求是这些因子相异。（不能因为例子中给出3 个因子，就把特例当一般。）看下面的式子：
8 x 10 x 12 x 15 = 120²
或者 8 x 9 x 10 x 12 x 15 = 360²

按定义，8 的Murray 数必得不超过15. 且找不到更小M <15可用n, M 间的因子做积再乘上8是完全平方数。故 15 是解。

这问题真让人痒痒 – 答题时或者说明不严谨，或者理解有点偏差；于是与正确的解失之交臂。

至此文初提到的两个问题，已经完全解答完毕。如果有兴趣，不妨再往下读。

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原题中还有另两个问题，我们举其中一个分析一下。

（丙）证明有无限多个这样的正整数n 满足：n 不是完全平方数，n 的Murray 数小于 2n.

这题的证明很容易跑题。要求既不是说明 n 的Murray 数可以小于 2n，也不是要说明有无限多个正整数n。也非 n 的 Murray 数一定小于2n。这样说吧（也许从反面理解更容易）假如有人声称他已经找到了所有关联Murray数小于2n — 即原数2 倍的情形；那你一定可以对他讲“且慢，你一定漏掉了一些”。

（丙）其实不难，有兴趣的可钻研。我们给两个提示（窗户纸已捅破 – 再往前走一步便是证明了）。

假如有人声称他已经找到了所有关联Murray数小于2n — 即原数2 倍的情形; 那么一定可以告诉你最大的一组。现在你对他讲：我还有更大的一组，你一定漏掉了。这样开启了如下对话：（假定你是 B）

A. 我已经找到了所有 n关联Murray数小于2n — 即原数2 倍的情形。一共有有限个。

B. 你找到所有这种情形的数了，并且有限个。那其中一定有最大的。能告诉我最大的n 吗？

A. 当然。n = xxxx.

B. 哦，4n 的Murray 数也一定会小于4n 的2 倍; 所以你把 4n 漏掉了。

A. 那就再加上 4n, 其中 n 是我刚讲的数。

B. 你一定还漏掉了4 (4n), 也就是 16n.

看出来了吧…… 这样下去一定没完没了。

有趣吗？弄明白了肯定有意思。知识点不难，但这题对于思维素质是有要求的。