在我们的帖子中，有关数学故事和方法一直受到读者喜爱。
我们把这些内容汇集起来，成立当前的这个新栏目。马上要做的一件事是给每篇加上适合年级的标签，以方便教师和学生。
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Category Archives: 数学故事和方法
黄金分割比 1.618 …… 的故事和应用
分比 （两个数的比）本质上就是分数，分比是两个线段长度的比。有什么好说的呢？黄金分割比就是很特别。
上面是简单图形中一些线段长度的比。有共同的地方吗？有的。这些图中所列的比都是一个共同的数：黄金分割比 1.618 …… （无尽不循环小数），如左图中, (a+b) : a = a : b = 1.618 …… 对于右图做点解释：外围是正五边形，里面有个正五角星，而五角星边交点又构成了个新的正五边形。从这图我们可以列出两对线段长的比（红线长 ： 绿线长，和蓝线长 ： 粉线长）？你猜对了，它们的比也是黄金分割比 1.618 …… 。
这上面是一个很有趣的分数序列。它很有规律：每个分数的分母等于前一个分数的分子，再仔细点看：其分子是前一个分数分子分母相加的和。在前端再添加三项，规律会更加明显了：
1 ⁄ 1, 2 ⁄ 1, 3 ⁄ 2, 5 ⁄ 3, 8 ⁄ 5, ……
如上所说，该序列收敛到 1.618 …… 即黄金分割比。
（如果不确定什么叫收敛，就是说沿序列往后走时，所有的数可能时小时大，但是会越来越接近目标数 — 在本例中为黄金分割比）。
博学而聪明的读者已经联想到了 Fibonacci（斐波那契）序列：一点不错，Fibonacci序列和黄金分割比有着太紧密的联系；为简明记就不再展开了。
黄金分割比有很多应用。所以专门保留了一个记号：常数 Phi （希腊字母 φ ） 。有人认为它是深藏在自然背后的一个数。举个例子。
通过对于植物叶子的研究，发现两片叶子如果相邻（这里相邻的意思是前后脚跟着长出来），
其间的角度和 φ 有关，具体点，相邻叶片间的角度 α 可用下式算：(角度单位是度）
α = 360 ⁄ (n φ )（计算式1），或者 α = （360 φ） ⁄ n (计算式2)
其中n 是正整数，常取 2 或 4. 若在（1）式中取 n = 2 得到约为 111 ̊ 15′ , 而若在（2）式中取 n = 4 则约为 145 ̊ ，这些数字在观察中得到证实。
艺术是自然的反映。所以艺术审美中也有黄金分割比。人体的比例，焦点的位置，小到长方形的长宽比等等。通过实际作品和实验心理学这一点也得证实。
回到数字 φ 本身。中文顺口溜可以记住 φ 的小数点后头十位数字：
φ = 1. 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 .. ..
一路要发，顶上山，玖发发吃 ……
有点俗：是通俗，不是鄙俗。φ 这个数还有什么特点呢？有的。
（1 ⁄ φ) = 0.618 033 988 7 .. ..
φ = 1.618 033 988 7 .. ..
φ 2 = 2.618 033 988 7 .. ..
上面三行的右侧，小数点后面所有的数字都完全一样，毫发不差！是不是叫人惊奇？在数学上这可以严格地导出。
最后,还和另外两个数，sqrt 5 以及 π 都有关联。我们有：
2 φ – 1 = sqrt 5 (即是 5 的平方根)
和
(5 ⁄ φ) < π < 2 φ
这些关联式后面的道理，就值得另外讨论了。
本篇完成时正值 6 月18 日。因为圆周率 π = 3.14 …… 3 月14 日被命名为 Pi 日，那因为 （1 除以 φ） = 0.618 ..是不是可以把 6 月18 日 命名为 Phi 日, 成为全球数学爱好者和学习者的又一个节日？在父亲节的时候，为人父者也可以给孩子们讲讲 Phi （φ） — 黄金分割比的故事啦。
数学王子高斯：生平，贡献和启示
高斯，全名约翰•卡尔•弗雷里奇•高斯，1777 – 1855，是德国数学家。幼时聪颖，最著名的故事就是他小学时怎样回答老师给他的那道数学题，让他算一加二加三 …… 一直加到一百。高斯从两边分别取数加起来： 1 + 100 = 101， 2+99=101，…… 如此下去刹那间就算出来结果是 50 × 101 = 5050. 这是上小学的高斯自己想出来的；稍加推广，就可以解决任何等差数列求和的问题。这是真正的天才杰作，成就了神童之誉。高斯在数学领域里终身建树颇丰，有数学王子 (Prince of Mathematics)之称。
高斯的工作涉猎数学的多个分支。除了数学外，他亦探入或与人合作探索天文和物理领域。在他的早期成长中，对于神学和语言学亦显出不同反响的理解才能。
高斯的最主要成就和他受的教育
少年天才的高斯接受了正规严谨的教育，曾在卡罗琳那学院和世界知名的哥廷堡大学共学习六年（1792 – 1795, 1795 – 1798）。1796 年高斯19岁时他就发现了用直尺和圆规作正十七边形的方法：继承了来自古希腊的数学传统–只要可能的话，就只用直尺和圆规完全准确地作出任何几何图形。
1799年（22岁），高斯的博士论文改进了现在称为代数基本定理的证明。该定理说：复系数多项式至少有一个复根；通过因子分解的过程，这表明 n次多项式在复数域有n个根。在严谨性上，高斯的证明比前证明进了一大步。
高斯用直尺和圆规作正十七边形的方法，是建立在传统上的，用到了代数，还联系了可作图性与费尔马数。这成为他最得意之作；今天学习纯粹数学的人仍把它当作代数和几何结合的典范。分圆多项式理论就是在这工作中萌芽的，后得到进一步发展 （不仅是他本人的工作）。在博士论文中的证明，他自己还不满意：用了一生时间来改进代数基本定理的证明（见下文）。
非这两个工作莫属高斯一生的代表作。
其他工作
在21岁时（1798年）他完成了算术教程（这里，算术主要指现在称为‘数论’的内容 – 数论是数学中即基础又高难的一分支）。由此奠定他在数论上的地位。数论中最常用到的模同余的记号，也是由于高斯的提倡而成为标准。例如，16 除以7，余数是2，在模同余理论中，写成 16 ≡ 2 （模7）。记号≡读作同余；这大大简化了表达，体现了大家风范。
高斯还结合圆锥曲线和高次方程组（高至8次）开创了（理论）天文学的工作。其中用到了一些复杂方法如付利叶变换和三角插值。1801年（24岁），他的理论预报当年即得到天文观测的证实。此后，高斯与物理学教授Wilhelm Weber长期合作，富有成果。他建立了磁观察站和磁俱乐部，是电磁学理论的先驱之一。他的工作也涉及到光学领域。他还主持了当地大地测量（1818 年，在汉诺威王国，现为德国的一部分）。正态分布，又称误差分布，高斯分布，在实验和统计数据处理上有重要意义。高斯在其中的工作从“高斯分布”的名称上就可以看到。
我们难以尽数高斯的成就。那个 1+2+3+ … + 100 的故事，由此衍生了高斯序列（或者三角形数：如1，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…； 1，3，6，10 就是三角形数）；而高斯的一个发现，是任何自然数可以写成不超过三个三角形数的和 — 来自他笔记 （”ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ”）。喜悦之情溢于言表 — 我们看到王子在数学世界的快乐！这是1796 年，他发现正十七边形尺规作图法的同一年。这是年轻时随手的作品，是大师的小品。
他用一生的时间改进他的工作，推敲每个细节。在1849年（距首次发表已有50年之久；当时他已经72岁高龄）高斯给出了关于代数基本定理的一个证明，按近代标准完全严谨。— 天才也如此磨砺自己的工作，让人感佩！晚年高斯成为荷兰皇家协会会员及荷兰艺术科学学院院士（外籍）。他不为名所累，提携后人，欣赏同行，对新秀黎曼在曲面几何上工作由衷称赞。
高斯的启示
每个人都能够从高斯的故事和贡献中得到一些启示。少年神童很多，但是成就堪比高斯的寥寥。高斯治学毫不浮躁，终其一生改进早期已作出的成果，仅此就让今天的浮躁者汗颜。高斯既无愧于少年神童，而他的学术成就和地位却来自于追求进取和不断磨砺。为后世治学树立了榜样。
数学教育小故事 (之二） 向穷人施舍的规则
施舍的规则和社区成员财富的演化
在一个叫乌托锁的社区里，大家严格按照规则办事。社区里有土豪也有穷人。手里钱最多的人（即没有人比他钱更多）就是土豪，而钱最少的人（即没有人比他钱更少）就是穷人。按照规则，土豪要施舍给穷人。
现在乌托锁社区的人都到了，大家玩一个关于施舍的游戏。开始时所有人手里的钱都是1元的整倍数 （即没有角和分），而且全社区的财富（所有人手里的钱加起来）要超过1 元。游戏规则是：所有按规则认定为土豪的人要付给规则认定的穷人 1 元钱。这个过程将进行多轮：每轮付款结束后进入下一轮，直到下面两种情形之一发生：
（1）所有人口袋里的钱一样多（即均了贫富）；这时没有土豪也没有穷人。
（2）游戏进入了循环，每个人发现他口袋里的钱回到了以前某一轮的数目；
游戏在这时宣告结束。
（有没有点象微信上的红包？当然，发红包没有严格的规则。）
在这个场景里，我们提几个有趣的问题。
问题1. 举例说明在有些情况下，游戏结束时可能有人欠债。
问题2. 如果社区有 n 个成员，那么社区总财富超过多少才能保证游戏结束时总没有人欠债呢？（社区里没有公共财富；总财富就是每个人手里的钱加起来。）
问题3. 假设 n=5 (即社区里有5个成员），如果玩这个游戏时结束在均贫富的状态（即最后每个人口袋里都有相同的钱），请列出游戏开始时所有可能的财富分配情况。
问题的原型是去年加拿大的公开数学挑战赛的一个问题。我们让叙述的方式有趣一点。
亲爱的读者，您想试试这个问题吗？我们会在以后公布答案。
数学教育小故事 (之一）：卖桔子的故事
卖桔子的故事
孩子学加减乘除四则运算的时候，是不是认为没啥用？看那超市，货款全在收银机上打出来，更会想到机器都给算了，不用我算。下面讲的是一个经济学家卖桔树的故事，读来颇多趣味。
首先他在春节期间把 160 盆桔树拉到郊区的花市卖（注意这是在中国南方，很暖和，所以市场开到很晚）。他发现那里的市场竞争好厉害，价格高过10 元就没人问。 结果他以 10 元每盆卖了 160 盆，收现金 1600 元。到第二年春节，他找到闹市旺地，而卖桔树的比较少， 并且灵活调节价格。如下：
下午六点到八点来的是上班一族，偶尔碰上平时不多见的桔树，立马掏钱，不在乎价格。结果以 60元每盆卖出了 40 盆。到了晚上九十点钟，顾客开始挑了，要货比三家，买又好又便宜的，于是他降价到20 元卖出 40 盆。十一点以后，顾客抓住了摊主想卖掉，因而想趁收摊前捡便宜。于是他再降价到10元，卖出了20盆。总计收现金 60 × 40 + 20 × 10 + 10 × 20 = 4600 元，多获利 3000， 并且收现总量是头年的 3 倍。作这个实验的经济学家叫张五常，是今天中国的一个大腕。
上面这个故事有点意思。引申一步，给我们大人孩子还有这样的启示：营销策划和成本核算要用到很多知识也包括数学计算。我们如果不会算数，哪里来的灵气去制定营销策略呢。看到收银台的发货票很方便，是为了提高效率，减少差错，让顾客满意，也减少卖货人的压力。可是千万不能只依赖计算器呦。