Smart Solutions for Some Equations (Quadratic, Polynomial and Rational)


Let’s look at a few problems on solving equations of different forms.

Find the smaller root for the following.

Problem (a).  (2-x) (3-x) = 2 / 3

Problem (b).   x (x-1) (7-2x) = (3-x) (4-x) (4-2x)

Problem (c).   [x (x-1) ⁄ (3-x)] + [x (x-1) ⁄ (4-x)] = 4 – 2x

Relating to equations above, we plot several curves using Geogebra (an app which can produce the graph for given functions – of course, this is only one feature of the many).

What’s interesting is all the three equations as in (a)(b)(c) share a common solution, and it can be found through algebraic manipulation. Take a forward look (click) here – you will see amazing graphs; the solution (roots) shall be some intersection points.


Of these questions, the challenging levels are in the order of ascending: from average level like (a), to somewhat challenging like (b), to very challenging in (c). For better understanding, we suggest the reader to try solve questions (a) (b) (c) first; and then compare with the solution provided in this file (pdf),
where we solve algebraically only for (a), but applying a combination of algebraic and graphic solution to tackle problems (b) and (c).  It’s called smart solution — we are applying a variety of tools at hand, not just following a fixed procedure.


Combining graphing with algebra facilitate us to guess where the root(s) of the equation are, or (sometimes) make observation of the roots easier. It’s also fun!

Try work out these equations first, then you can check out the solutions (pdf) here.

Now you can take a second look at the graphic solution. Have you seen and understood more, about the question, and about the how algebraic manipulation plays out in function graphs?

Smart scrambling of digits onto pyramid to match eee


The Problem A tetrahedron (as shown below) has four sides and six edges. Numbers from 1 to 11, except number 10, are each assigned either to a vertex or to an edge. The number assigned to an edge must equal to the sum of the numbers assigned to the two endpoints. Each of the numbers must be used exactly once.

问题  一个四面体有 4 个顶点和 6 条边。从 1 – 11 的数 (没有10),一一地被分配到边和顶点。每条边上的数字是该边两个端点的数字之和。上述每个数字必须刚好使用一次。

Note: Another name for the tetrahedron (四面体) is triangular pyramid (三角锥).


Can you find a solution that satisfies ALL of the above conditions?Let’s work on this problem until we find a solution!


First step is always the most challenging, as we are usually not sure which path to take when facing a difficult problem. Don’t be afraid to try; when it does not lead to where we expect, reflect on why it does not work and have another try where we have a better chance.

(第一步)试了几次后,发现最小的两个数1 和 2应该被分配到顶点而不是边上。在连接1,2的边上的数字应是3。

(Stage 1) After a few trial-and-errors (or guess-and-checks), we come to focus on the two smallest numbers 1 and 2, and decide that they must be assigned to the vertices, not the edges.
Why? Because if one of them (say 1) is assigned to an edge, they must be the sum of two numbers assigned to its two endpoints, therefore the two numbers at the endpoints must be even smaller. However, this is impossible, as the number 1 and 2 are already the smallest.
Tetra -1-s1

Which vertices to assigned numbers ‘1’ & ‘2’? In a tetrahedron, any two vertices are adjacent, and the whole solid is highly symmetric – by rotating /reflecting, any two adjacent vertices can be transformed to the two designated ones. This is settled! We can assign numbers ‘1’ & ‘2’ to any two vertices, and the edge connecting those two vertices shall be assigned number ‘3’.

Well begun, half done! But there is other half, for which we start by some frantic trying.

(第二步) 最大的数字11 应该分配到一边上。 这条边的端点不是 1 或者2。

(Stage 2) This time we look at the largest number 11. Suppose we assign it to an edge that’s adjacent to ‘2’. For the edge, one endpoint is ‘2’, the other endpoint – it must be ‘9’. We are now in a situation that we cannot go on any further. ConTetra -1-s15sider any edge with endpoint ‘9’ (other than the edge we already assigned ’11’): which number shall we assign? It can neither be ‘1’ nor ‘2’ nor ‘3’ (since all these numbers have been used, we are not supposing to repeat numbers). Smallest available number is ‘4’, but 9 + 4 = 13, which is not in the given set of numbers.

So the edge to which number ’11’ is assigned cannot have any endpoint ‘1’ or ‘2’; and take another look at the figure, we decided that it must be the edge that is the furthest from the edge ‘3’. And we mark 11 there.

(第三步) 分解数字 11 成两数之和。11 = 4 + 7 = 5 + 6. (注意,数字 1,2,3 已被用过了。) 只有这几种可能性,试试就得了。

(Stage 3) Tetra -1-s3

Decompose 11 into the sum of two positive numbers (but without using number ‘1’ ‘2’ ‘3’), we have the following two: 11 = 4 + 7 = 5 + 6. A couple of trials will finally lead to the solution! We leave it to be worked out by the reader.

What knowledge we have used in this whole process?



  • Numbers and its operation – you have to understand addition and subtractions of integers.
  • Shapes – you are not asked to do any calculation like perimeters and areas, but you have to understand an edge is constituted with two endpoints, and which edges meet and which do not (we call them the furthest edges).
  • Logic deduction – see how we’ve used the fact that 1 and 2 are the SMALLEST to deduct that they MUST be assigned to vertices, not edges; and we’ve used the fact that 11 is the LARGEST to deduct that they must be assigned to an edge.
  • Also see how we have used some symmetry to reduce the situation we need to consider.

What is the lesson we learned? Try – Think – Try again where we have a better chance. Use thinking / logic reasoning as a guidance so the trial can efficiently leads to result.

Mysterious Unbalanced Sheets on Loans

– story told by hunchbacked shopkeeper

Once there was a hunch-backed shopkeeper. And he told the following story:
(For readers at grade 6/7 level and up)

“Once I lent 100 dinars, 50 to a sheik from Medina and another 50 to a merchant from Cairo.

“The sheik paid the debt in four instalments, in the amount 20, 15, 10 and 5. .. .. Note that the total of his debt balance is 50 dinars.

1st Installment: Paid 20 & Still Owe 30
2nd installment: Paid 15 & Still Owe 15
3rd Installment: Paid 10 & Still Owe 5
4th Installment: Paid 5 & Owe 0
Total Paid 50 & Total Owe 50

“Meanwhile the merchants from Cairo also paid the debt of 50 dinars in four instalments, in the following amount: 20, 18, 3 and 9. And here is the balance sheet for his debt.

1st Installment: Paid 20 & Still Owe 30
2nd installment: Paid 18 & Still Owe 12
3rd Installment: Paid 3 & Still Owe 9
4th Installment: Paid 9 & Owe 0
Total Paid 50 & Total Owe 51

“But note his total owed is 51 dinars”, remarked by the hunchbacked shopkeeper; apparently this should not have occurred.

Using a bit math, can you help our shopkeeper to solve the mystery?

Think on your own first!

Then you might want to take a look at our explanation. Do you agree with us?

不一样的数学探索 —有趣,直观又有用

可以吗?在平面上任给5个点 (where no three points are on the same line),可以选3个点用直线连成三角形,让另外2点都在这三角形的内部吗?有些情况下这能做到,但是总能作到吗?当这个仿佛天边飘过来的问题(既简单又似无从下手)提给 15左右的学生时,不少就表现出跃跃欲试的兴趣。有一个立即发表意见:"总是可以,只要找到最外面的三个点,余下的就在里面。"

Yes Interior -2同伴反驳了,他举了一个例子:取呈正方形的四个点,无论取哪3个,都不能把另一点包含在其中。第五点呢,比方说在正方形内部。还是没办法取出含另两点在内部的三角形。

Not-Interior - 1教育中从简单开放的问题出发,易于参与。比方说 什么叫“最外面的点”?反驳的孩子的思路也好棒,他是举例说明有不行的情况。提醒注意,要鼓励的是探索,动脑筋思考,发表意见要重事实和逻辑,不嘲笑攻击别人。这才是安全探索的环境。和同行讨论时有共识,启发思考,东西方都有好的做法,有共通的东西。简单贴上东方,西方教育的标签,捧一个打一个,是我们一直不赞成的。


数学家,数学教育家 Polya 讲过(大意),好老师善于提问题引导学生深入。通过上面讨论,文章开头的问题不是总能做得到。有时能,有时不能。那么什么时候能,什么时候不能呢?可以想一下,答案在文中说明能和不能的两幅插图中找。先注重观察特征,然后再想怎么表达清楚。有兴趣的切磋一下,问问你的孩子。



化三角为正方的问题: 一波三折,耐人寻味



下面这张图就是曾经广为流传的一个解。(图是新画的,画的人也知道图中有误 — 但是作为数学教育,我们必须学会审视错误和偏差。)

Triag-CutGlue-Square看明白了吗?参照上图:沿着ABC 的方向是一个正三角形,即AB=BC=CA (三边长相等)。把它切成四块(图中分别涂了黄绿蓝粉色),然后让绿色块以E为中心旋转180 度,粉色块以D为中心旋转 180 度,再把蓝色块移到最上端,诺,看到新成的正方形了吗?从MDME 分别延长出去的是两个相邻边,MA再延长到最上面的顶点是对角线。看起来活脱一个标准正方形呵,只是旋转了 45 度,对吗?从图形的对称性,新成四边形的四边都相等,应没有问题。四个角呢,那恰是环绕M的四个直角,经过翻转移动,最后变成了新四边形的四个直角。四条边相等,四个直角,那不就是正方形了吗?


再细看看。DEABAC 两边的中点(就是说DA=DBEA=EC),FGBC的两个四分点(BF GC各是BC的四分之一,FG 占了BC的一半)。(略去推导)DEGF应该是一个长方形。DGEF呢,是这长方形的两条对角线。长方形的两对角线交成直角吗?一般不是,除非长宽相等(不信就试试)。那DE = DF 吗?DE 是正三角形边长的一半,DF呢,是三角形高的一半。高线总比边长要短些的,对不对?所以DF < DE; 于是两条对角线的交线不是直角,即环绕M的四个角都不是直角。经过翻转成为新四边形的四个角,也非直角也。

结论:新成的四边形真的不是正方形,只是菱形(也有人把它叫做钻石形–Diamond Shape)。我们计算了一下,角 FMG 大约成 98.2 度的角度。

假使没注意到交角上的破绽(不是直角),还有一个办法看出问题:既然新四边形是由原三角形裁剪拼成的,那么他们的面积应该相等咯。面积的计算稍复杂些,不再详细讨论:只提一下如果正三角形的边长是 2,那么它的面积是 3 的平方根(约为 1.73);而新四边形按照构造方法,边长应为2的平方根,所以如果是正方形,那么面积是 2,而2 不等于 3 的平方根,所以新四边形一定不是正方形!

还有操作性特强的办法发现问题:从E出发,作 DG的垂线,延长到和BC 相交。传统几何中非常讲究作图法,而且只用直尺和圆规。如果不熟悉,还是可以借助量角器完成作图,对吗?一画图就发现问题了,垂线不通过M,延长后与BC 的交点也不在F,有偏差。



培根有句名言:“数学使人精细。”正确求解一个可能途径是,在BC 上求一点X,使得EX刚好等于新正方形的边长。F 和 X 其实就差那么一点点。我们要做的:从原三角形的面积等于新正方形的面积,求出新正方形的边长 s,然后求FBC上的位置, 使得 EF = s. 这是求解的第一步。正解已经呼之欲出。

1. 前辈蒋声先生最先指出开明书店旧版的 《数学万花筒》 中的一幅插图是错的,那图所指的就是化三角形为正方形的问题。真正的火眼金睛!在他后来80 年代的著作《几何变换》 中亲自改正了原图。

2. 插图取自公众号 数学教学研究,向邵勇老师致意。(他同时给出完全使用直尺圆规作图的解法。)



水,肥皂泡,和水立方奥运会馆 — 背后的数学故事



肥皂泡沫,各位洗头沐浴时一定见过。泡沫和水是分不开的。啤酒泡沫是另一种,里面也有水,飘浮在啤酒液体表面上。(据说倒啤酒的技巧体现在尽量少的泡沫 – 这是另话。)而水立方馆的建设,基于一种类泡沫结构:正式名称是 Weaire – Phelan 结构,在1994年通过物理实验和计算机启发算法找到。
而更奇妙的,从1873 年物理学家Joseph Plateau 提出来肥皂泡结构四定律,到Lord Kevin 1887 年的一篇论文给出肥皂泡结构的完整模型(基本定律在之前已作好,Kevin的贡献是建立了肥皂泡的多面体模型),再到2008年的水立方场馆,中间经过了135年。场馆的设计由澳大利亚一家 PTW 建筑结构公司完成。他们选择了类泡沫Weaire – Phelan 结构作为水立方的基本构成单元,是为了让场馆的落成成为体育,数学物理和设计艺术完美结合的庆典。当然,水立方名称的由来,来自中国人的哲学 — 对于水的喜爱。但是“立方”之名,可不是毫无道理:你见过大体方正,立方体形式的泡沫吗?本文就要跟你解释这些问题,原始素材取自 Matt Parker 的一篇科学读物。

小时候吹过肥皂泡吧?你一定记得肥皂泡泡有一个球形的表面,在阳光下泛出七彩。先从球形说起:第一,单独的肥皂泡是球形,这背后是有科学原理的,是因为在同样体积下球体的表面积最小(或说在同样表面积下球体的体积最大 – 称为球体的极值性质)。肥皂泡表面张力约束的是表面积: 大自然本身有优化的功能,所以你能吹出尽可能大的肥皂泡。第二,球体有极值性质当然好,但是用球去充满一个三维空间,却是相当差的选择。就像你拿圆形的硬币摆在桌上,要么硬币间有重叠,要么之间有空隙;你永远无法排出一个硬币间不重叠而能够盖满整个桌面的硬币阵列。球体也一样。把一堆橘子或苹果或西瓜排在那里,之间一定有缝隙:这有利通风保鲜;可也意味着运输时需要更大的空间。所以运输商总想找到更有效率的排法。结果呢,即便最有效的排法,也只能利用空间的 74.048%,略逊于 四分之三。当然如果不太贪心,这已经够好了:要不让水果喘气,会很快烂掉的。


回到本题:是什么让科学家们对于泡沫结构如此着迷呢?泡沫结构有非常独特的性质。单独的肥皂泡是球形 – 满足极值原理;肥皂泡挤在一起是能够充满整个空间(差不多100% 充满),所以你洗头才好洗得干净。科学家Joseph Plateau设计的实验,真的观察到了方的肥皂泡。进一步观察揭示出:当肥皂泡挤在一时,呈现十二面体的结构:这个结构在边缘形成接近直角:形成好像“方型”泡沫。有人可能问,为什么不干脆是正方体呢?因为在同样体积下,肥皂泡十二面体的表面积比较立方体更小。在这里,“极值原理”起了作用。


奥运会馆的“水立方”,是2008年奥运会的主场馆之一,大家都已熟悉。下面是水立方正面壁的图案,我们看到啦许多五边形和六边形,他们接近 Weaire – Phelan 结构的立体展开图 (不完全是:为加强视觉效果,图中的多边形做了一些随机扭曲)。FPnt-WaterCube仔细看一看,欣赏喔!

如果你的好奇心被激发了,恭喜你!若是还有进一步探究的愿望:本文有第二部分,什么是占据空间的百分比,肥皂泡正12面体的结构,还有 Weaire – Phelan 如何改进了泡沫结构,创造了胜过自然的结构(仍可以充满空间,但是同样体积约束下表面积更小)。



一个多面体不重叠地占据空间的百分比(即是 Tiling efficiency)是怎么计算出来的。我们简单举个例子:计算圆形占据平面的百分比的最大值。想象一下把圆尽量紧密地排列在一起,但是不许重叠,不许变形(No overlap,No deformation), 圆还得是圆:这样最多能占据多少空间?这个技术问题说起来相当化时间,也有点沉闷;但是有助于准确深入地理解我们讨论的问题。我们暂时略去了。

好,现在要仔细说肥皂泡了,先从肥皂泡四定律开始说起。头二条好简单,说肥皂泡总是看起来很酷,表面光滑;且各处弯曲程度相等 (就是曲面曲率各处相等)。后二条是泡泡之间的几何关系,说它们的面总是三个一组相交成为边,而这些边呢四个一起相交形成顶点。这就是也许不那么出名,却是对探求肥皂泡结构至关重要的肥皂泡四定律,由物理学家 Joseph Plateau 在1873 年提出。


SOAPFilm geomodelnet+for+rectuangular+prism

每个面都是一个五边形;注意不是正五边形,其中一边要比其他四边都长一些: 按比例大约是 1.31 :1。这是平面展开图,在北美的教材中被称作 Net。如果还不明白,它旁边的小图是长方体的 Net。简单说,Net 的每个多边形是一个面,在两个多边形相交的地方折叠一下,折成一定角度,然后让所有的面围成一个封闭空间,然后用胶水粘结起来,就做成了 (真的多面体)!立方体比较简单,全部折成直角。肥皂泡的12 面体该折成什么角度 – 那还要复杂一些了。师从自然,我们感受一下效果吧。

如方肥皂泡立体效果图所示:外面的立方体是一个线架,悬空在中间的是就是方肥皂泡:SOAP filn per注意观察在顶点周围弯曲的情况。
Joseph Plateau 观察到的方肥皂泡不是严格方的,在各个顶点上形成略大于90 度的钝角。说明一下,这个结构完全满足 Plateau 的肥皂泡四定律。呵,有人惊讶:前述12面体就是这个样子吗?是啊!看起来真像正方体,只在角顶点有点弯曲:而细究其结构,既复杂又简单!(初看复杂,其实各个面都是一样的:所以还算简单呢 — 或说蛮酷啊)

接下来就要看 Weaire – Phelan 结构啦。它的Net 如下面图所示。数一数一共 14 个面:其中的12个每个面还是五边形, 但是看起来更不规则,有两个对边特长,有两个临边相等,还有一边特短 (按比列是 1 :0.86 :0.86 :1 : 0.576)。还有两个面是不规则六边形,有一对边特长,是其他边的 1.52 倍。六个这样的结构折叠起来在空间拼合,其效果图画在旁边:请注意,接合处应当没有缝隙(当然图中稍微错开了一点,以便读者看得清楚;延伸的阴影显示接合面)。

WeariePhelan cellWearie-Phelan effect

Wearie-Phelan 结构显然是受到了肥皂泡结构的启发。那末怎样比较他们的性能呢?他们都能充满整个空间,在这一点上无分伯仲。于是比较同样体积下的表面积。因不规则性,计算起来是够复杂的,我们不Bother 读者具体过程了,就说一下结果。首先与正四面体结构,正六面体(即立方体结构)相比,在相同体积时,肥皂泡结构的表面积明显缩小(这倒可以算;读者不妨试算或去问数学老师)。而在同样体积下,Wearie-Phelan 结构的表面积比肥皂泡结构还要小 0.3% (即是后者的 0.997)。通过计算机穷举验证,Wearie-Phelan 是所有用全等结构(即大小形状一样)完全充满空间的结构中表面积最小的,但也只是小了 0.3%。可见造化的神奇,给人们留的优化空间相当有限。考虑到肥皂泡结构的相对简单性,是否可以说:大自然不做过度优化而恰到好处。

这个数学故事讲完了。我们得到怎样的启示呢?从中我们惊叹自然的神奇,也可惊叹人类思考力和创造力的伟大。肥皂和啤酒的特征是表面张力较大,易形成泡沫。虽是人类所造,但是冥冥中契合了自然的原理:大自然给了泡沫优美的形状和特性:既部分满足极值原理,又能充满全空间。在这一点被揭示出来之前,没有人意识到泡沫如此神奇。是造化的神奇,还是思想的威力?都是。而Wearie-Phelan 结构的提出,则是把这个结构最终推向了极致 – 树立了人类探索和创造的一个丰碑。

这个故事也让我们领会到数学和科学的力量:如果自然是一本书,那末这本书主要是用数学和物理的语言写成的。读懂这本书不易 – 但真的有趣有味道,引人入胜!