17 年蝉 — 素数生命周期蝉猜想

自然界中有一种蝉,拉丁名叫 Magicicada Septendecim,是昆虫里生命周期最长的:十七年。他们的生命从地下开始,幼虫从树根中耐心地吮吸汁液。过17年后,成虫从地里冒头,成群结队,一时间泛滥了整块地界。几周之后,他们交配产卵,后悄然死去。产下的卵也要待17年再冒头。(另有一种叫 Magicicada Tredecim,生命周期是13 年)。

生物学家相当困惑:为什么这种蝉的生命周期这么长?
一个数学爱好者客串回答,他注意到13 和 17 都是素数(即除了1和自身以外无其他约数),于是就提出了下面有趣的假说:

设有一种寄生于蝉的虫子。蝉冒头时一定要避开这种寄生虫的大年(即最繁盛的一年)。因为碰到寄生虫不是好事,会影响到这一代蝉的群体健康和生活质量。如果该虫的生命周期是 2 年,那么为了蝉自身的好处,蝉的生命周期是单数才好 (两代蝉中只有一代会遇到寄生虫的大年,比每代都撞上好。)同样地,为了蝉自己,生命周期最好也不是3的倍数,5 的倍数,…… 于是,比较合理的就是一个不太小的素数了。

对于17年生命周期的蝉,如果寄生虫的生命周期是 1 年,那么假设这一代蝉不幸遭遇寄生虫的话,过17代才会再次遭劫。如果寄生虫的生命周期是 2 年,那么也是再过17 代 (年头当然更长,是34 年)。对虫子来讲,17 代中只一代遇到十七年蝉的这个结果是不变的,只要寄生虫的生命周期是整数年(合理的假设)。而对蝉来讲,当寄生虫的周期从1年-16年 变化时,蝉已经越来越难遇到寄生虫的大年。如果寄生虫的生命周期是17年,糟糕了:可能每次都撞车:蝉被虫子克了。

论理,寄生虫的生命周期应该比较短,以此来增加繁衍和找到适合寄主的机会。寄生虫刚好也是17年的机会很小。而且,虫子没有机会了解蝉的生命周期;假定它能够逐渐延长生命周期(经过许多代),那么生命周期是8年时,仍会错过17年蝉的大年,除非下一代的周期立即变到9年。不过就这一次,接下来的几代还要再错过。
这个称为“素数周期蝉”的猜想得到证实了吗?我们先要问,怎样才算证实呢?这样提问题也很有趣。我们只能说“素数周期蝉”是一个合乎情理的猜想。数学和科学也有,而且需要,大胆的想象和猜测!

通过这个有趣的例子,让我们对于素数也有了更多认识!你作分数加法时,假定两个分数的分母是不同的素数,知道怎末做的人可能会说,My God!因为通分以后的公分母一定很大,刚好是两个分母的乘积。比方你如果做 (2/7) + (1/13) = ? (七分之二 加上 十三分之一 等于什么)公分母是 7 乘 13 得 91。蝉和寄生虫的公共大年,也就在找最小公倍数,和通分的概念是一样的。

黄金分割比 1.618 …… 的故事和应用

分比 (两个数的比)本质上就是分数,分比是两个线段长度的比。有什么好说的呢?黄金分割比就是很特别。

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上面是简单图形中一些线段长度的比。有共同的地方吗?有的。这些图中所列的比都是一个共同的数:黄金分割比 1.618 …… (无尽不循环小数),如左图中, (a+b) : a = a : b = 1.618 …… 对于右图做点解释:外围是正五边形,里面有个正五角星,而五角星边交点又构成了个新的正五边形。从这图我们可以列出两对线段长的比(红线长 : 绿线长,和蓝线长 : 粉线长)?你猜对了,它们的比也是黄金分割比 1.618 …… 。

Fibonacci-GoldR这上面是一个很有趣的分数序列。它很有规律:每个分数的分母等于前一个分数的分子,再仔细点看:其分子是前一个分数分子分母相加的和。在前端再添加三项,规律会更加明显了:

1 ⁄ 1, 2 ⁄ 1, 3 ⁄ 2, 5 ⁄ 3, 8 ⁄ 5, ……

如上所说,该序列收敛到 1.618 …… 即黄金分割比。

(如果不确定什么叫收敛,就是说沿序列往后走时,所有的数可能时小时大,但是会越来越接近目标数 — 在本例中为黄金分割比)。

博学而聪明的读者已经联想到了 Fibonacci(斐波那契)序列:一点不错,Fibonacci序列和黄金分割比有着太紧密的联系;为简明记就不再展开了。

黄金分割比有很多应用。所以专门保留了一个记号:常数 Phi (希腊字母 φ ) 。有人认为它是深藏在自然背后的一个数。举个例子。

通过对于植物叶子的研究,发现两片叶子如果相邻(这里相邻的意思是前后脚跟着长出来),

Phi-1st fibonacci flower-02Leaf-Growth-13其间的角度和 φ 有关,具体点,相邻叶片间的角度 α 可用下式算:(角度单位是度)

α = 360 ⁄ (n φ )(计算式1),或者 α = (360 φ) ⁄ n (计算式2)
其中n 是正整数,常取 2 或 4. 若在(1)式中取 n = 2 得到约为 111 ̊ 15′ , 而若在(2)式中取 n = 4 则约为 145 ̊ ,这些数字在观察中得到证实。

艺术是自然的反映。所以艺术审美中也有黄金分割比。人体的比例,焦点的位置,小到长方形的长宽比等等。通过实际作品和实验心理学这一点也得证实。

回到数字 φ 本身。中文顺口溜可以记住 φ 的小数点后头十位数字:
φ = 1. 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 .. ..
一路要发,顶上山,玖发发吃 ……
有点俗:是通俗,不是鄙俗。φ 这个数还有什么特点呢?有的。

(1 ⁄ φ) = 0.618 033 988 7 .. ..
φ = 1.618 033 988 7 .. ..
φ 2 = 2.618 033 988 7 .. ..
上面三行的右侧,小数点后面所有的数字都完全一样,毫发不差!是不是叫人惊奇?在数学上这可以严格地导出。

最后,还和另外两个数,sqrt 5 以及 π 都有关联。我们有:
2 φ – 1 = sqrt 5 (即是 5 的平方根)

(5 ⁄ φ) < π < 2 φ
这些关联式后面的道理,就值得另外讨论了。

本篇完成时正值 6 月18 日。因为圆周率 π = 3.14 …… 3 月14 日被命名为 Pi 日,那因为 (1 除以 φ) = 0.618 ..是不是可以把 6 月18 日 命名为 Phi 日, 成为全球数学爱好者和学习者的又一个节日?在父亲节的时候,为人父者也可以给孩子们讲讲 Phi (φ) — 黄金分割比的故事啦。

GCF-LCM 和分数通约分 — 游戏找规律,运算不觉难

分数运算的学习,涉及到两个重要方法:约分和通分。相关的两个概念,是最大公约数(GCD, or GCF – Greatest Common Factor) 和最小公倍数 (LCM – Least Common Multiple)。这两个概念是分数教学中的难点。能不能让孩子学得不那末痛苦呢?可以,我们可以引入一些数学活动或者游戏。

下面介绍在美国老师(当然是好老师)作的一个 GCF-LCM 游戏: 也可叫最简分数游戏。是一套实验教材中介绍的,下图是游戏的基本图式。给定两个数一左一右,公倍数LCM 写在上方,公约数 GCF写在下方。GCFLCM-diag - 1

也许你说,这叫啥游戏啊?除了GCF和 LCM 的概念外,没带来新东西。也没有变化,没趣。其实不然。
我们先看求最小公倍数(LCM)的一个快捷方法:给两个数,先找GCF,然后从一个数中把GCF约去,再去乘另一个数。如求21 和 28 的LCM。找到GCF 是7,从28中约去7 得4,再用4去乘21,结果是 84. — 这就是他们的 LCM。有的学生从玩游戏中发现了这个规律。由于在图示的框架下,两个数以及GCF,LCM写在了菱形的四角上,在老师启发下学生是可以观察到规律的。在发现这个规律前,孩子通常做的是:

21 的 公倍数:21,42,63,84,105 ……
28 的 公倍数:28,56,84,112 ……

圈出两个序列中相同的第一个数,就是 LCM。没有相同的,就延伸序列再找。

我们的快捷方法是不是要快得多?而且从算法上是“安全”的:如果找到的公约数不是最大的,仍然可依此算出一个公倍数,只不过不是最小的;找到的公约数太大呢?包含了不应计入的因子;那末做约分(除法)时就发现了问题:赶紧回去订正公约数。

再往前走一步,有人注意到菱形的两个对角线上的乘积相等吗?这是必需的,否则一定填写有误啦!就是说 LCM(a,b) 乘以 GCF(a,b) 的乘积一定是 ab.

稍微变一下问题。A. 如果给出两个数中的一个,再给出他们的GCF,能否求出 LCM呢?B. 给出两个数中的一个和他们的LCM,能否求出 GCF呢?
问题A可以作出好多的(无穷个)解:给出了GCF 后,我们要求另一个数要含GCF 以及不含已经在这数中的其他因子,除此以外别无限制。这样LCM有好多可能性。例如给出了一个数是21,两数的GCF是7;那末另一个数必须含因子 7,不能含因子3;但是可含因子 11,13, 或者 11 x 49,都是允许的。满足条件的一个解可能是 7 x 11 x 49: 这样的解就太多了。
问题B一般也会有多解:但是解的个数有限。因为给出了LCM,就限制了两个数都不能太大(起码不能比所给的 LCM 更大吧)。如给出一个数是28,两数的LCM是84. 注意到84 = 28 x 3, 这个3 不是28 的因子;所以一定要出现在另一个数中。这个数的其他因子一定要来自28 的因子;如 2,4,7,14 还有28. 所有可能的解是 3,6,12,21,42 和84. 这些数和 28 的LCM 是84. 至于GCF呢,就分别情况来求吧。

net-CF-CM - 1看一下GCF – LCM 网。游戏变得更有趣一些了![这类游戏编写的一个拿手好戏,就是通过组合创造一些复杂性,增加一些建立在简单基础上的挑战;增加的一点波澜,会刺激孩子的兴趣,及学会观察思考,学会自己思考解决问题。]
如图所示,要在三个圈里填数:按照基本图示理解:两数的GCF 是1, LCM 是 28. 数28 和 第三数的LCM 是 112,二者的GCF 是刚才提到的两数之一。注意至少给出一个LCM 是很重要的,否则有无穷解 (无法定解)。上例是最简单的 GCF – LCM 网,通过更多的链接,可以造出更复杂的网(也别太复杂,适可而止)。

从教育角度说两句。为啥不直接使用分数计算作题海训练呢?一是引入变化增加了趣味性,让孩子爱做配合训练;二是通过图示框架观察找规律,孩子在启发下自己发现规律才印象深,也学会思考;第三:图上作业和单用数字文字比,更有意思,也在反复中比较 GCF 和 LCM 的区别和联系;达到概念清晰,熟练基本技巧–- 其实掌握任何技巧都需要一定量的训练。学习和训练中有阈值原理,要达到定量超越阈值,学习成果才能巩固下来。说明一点: LCM 和 GCF 的概念需要在游戏前介绍 — 最好配有例子; 这个游戏不是用来讲概念的,也是为了复习概念,再熟悉计算提高运算技巧。
最后同样重要的一点,研究思维科学的人特别强调简单图示的意义:在概念形成阶段,图示能在框架下简单清晰地表达概念联系,让我们的思维聚焦。等到完全想好后再用文字写清楚。这个原理在游戏中得到了应用。 游戏作玩后告诉学生GCF,LCM 的直接应用是分数计算:这时作分数计算(通分约分)就不畏难了,还觉得兴趣盎然。[还有的老师是先教了通分约分再来介绍这个游戏 — 这样学生们可以通过游戏熟悉 GCF,LCM 的概念和计算。] 学生们对于概念的理解更加深入,计算能力也有提高 — 算得更快!

留给读者一个问题。

prbl-LCMGCF - 1 您能完成左边的问题吗?还有前面给出的 GCF-LCM 网的那个问题?
左边问题的解释是(回忆基本图示):求一个数,与 22 的最小公约数是242;并且求出其与22 的最大公约数。提示:答案不唯一。

八边形的面积 (好简单!)

看下面这个图,请!

Rotate-Square-Octa-lbl

很有趣,是不是?

这个图有一个圆,圆内接的一个正方形,再加上那个正方形旋转45度以后的新正方形 组成的。其他不过是线和线,线和圆弧的交点而已。这个图其实不复杂,但是蛮有趣。

两个正方形的边是相交的,得到 8 个顶点。把这些顶点依照顺序连接起来,我们得到一个八边形。请参看上图 (如果看不清,点击放大), 原正方形ABCD 和 旋转45度后的新正方形 A0B0C0D0 交于 8个点: 按顺序连起来,得到八边形 E1E2F1F2G1G2K1K2. 这个八边形是一个正八边形 (即所有边的长度相等,所有内角的角度相等),你能证明吗?

利用对称性加上旋转的性质,很容易找出若干全等的三角形。由全等形的对应边相等,对应角相等就能得到正八边形的结论。(提示:旋转45度在这里起了关键作用。正方形的4个顶点把圆周分成四段,每段90度;45度刚好一半。如果旋转90度新正方形和旧的重合,旋转45度交点构成正八边形。如果旋转的是 0-90度之间任何其他角度,交点也构成一个八边形,但不会是正八边形。)

大一点的正八边形是把原来正方形和新的正方形的顶点交替连接起来,于是得到 AABBCCDD . 类似地,可以说明这是一个正八边形。

八边形的英文叫做 Octagon,和它类似的有个词Octopus 章鱼,因章鱼有八条腿。Wow,我们做出了正八边形 (联想:章鱼)!

下面来看两个有趣的面积计算。给定原来正方形的边长等于2,那末,

1) 正八边形 E1E2F1F2G1G2K1K2 的面积是多少?

2) 正八边形 AABBCCDD 的面积是多少?

我们先看第一个问题: 注意到正八边形 E1E2F1F2G1G2K1K2 的面积是正方形的面积减去四角上的四个小三角形面积;而这些小三角形是全等的。小三角形(比方说 等腰直角三角形E, 在顶上的图里,就是角上浅蓝色的小三角形) 的边长呢?这个要稍微用点劲。

注意到 A : K : E = 1 : sqrt 2 : 1, 其中 sqrt 2 是2的平方根,大约是 1.414, 或者7/5. 我们只要把 A0B0 = 2 分成 (1+sqrt 2 + 1) 份,取出 1份,就是E 的长度。而E = E = 2 ÷ (1+sqrt 2 + 1). 所以等腰直角三角形E 的面积就可以算出了(直角边相乘,别忘了除以二)。把这个面积乘以4,从正方形里减去,就是八边形面积的答案。刚刚我们完成了什么?八边形的面积计算!一点不难,是不是?

好了,我们把第二个问题:

2) 正八边形 AABBCCDD 的面积是多少?

留给读者思考。

 

另辟蹊径–数学教育中的游戏方法

爱玩耍爱游戏是儿童的天性。玩游戏也可以学数学吗?当然,在一定条件下是可以的。关键是玩法得当,在高手引导下或好老师指导下收获最大,进步也快。

玩游戏学数学,非自今日提出,但是多数家长对之有戒心,可说是没成气候。究其原因呢,许多人头脑里有个框,认为学数理化就得正襟危坐,一本正经,学和玩扯不到一块。这种观念的效果不一定是促进学习,反而让孩子提不起劲学习,也给家长拿来“我的孩子不是学数学的料”,最终放松乃至完全放弃数学学习。

游戏呢不光是计算机上的数学游戏(大家对于计算机游戏已了解较多),更主要的是含有“数学元素”。

什么是数学元素呢?不只是传统的代数几何三角分析,也有逻辑,组合问题和博弈策略。这类游戏中,有的是用数学方法分析传统的游戏,让学习者看到游戏背后的数学道理(一些教师,科普期刊,网上学习站做了努力)。还有的是把数学观念或者事实融合在游戏中;在玩游戏的过程中同时应用数学概念发展游戏策略。这后一种游戏引起了教育者越来越多的认真的兴趣。这种数学游戏也可以看作是头脑实验的雏形,或者融入了数学原理的益智活动。游戏可以在计算机上玩,但是在纸上作最好。我们借这个机会分享一下。

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为不致空泛,我们来看两个简单游戏:1. 数独游戏; 2. 余数井跳跃游戏。涉及到的知识主要是逻辑和简单算术,尤其适合在小学高年级到刚进初中阶段(4-7 年级)的学习。

第一个是数独游戏 (Sudoku)。这个游戏的发明人就叫 Sudoku。常见的格式是一个正方形分成 3 × 3 9 个小正方形,每个小正方形又有 3 × 3 9个小格子;总共81 个小格子。在每一行,每一列,每个小正方形中数字 1 – 9 都要出现一次。(中文把这个游戏译成数独,很妙!)游戏开始时在若干格子里给了数字,参加游戏的人接下去把它填好。如果给的数字少,最终填数的答案是唯一的(或有两三个也可以),那末游戏的难度就大。这个游戏吸引了很多人,很益智力,也帮助理解数学方法。

余数井游戏(Jump Between Wells of Remainders) – 示例

Wells-of-Remainder第二是余数井游戏。在一张图上玩:有出发点(Start)和终点(Finish)。图的每个节点往下走常会有几条不同路径。这图比线性链条稍复杂一点,乍一看像项目管理的节点图。每节点有一个整数,出发点的上方指定了一个除数(整数)。玩法很简单,规则定步数,你选路径。每次移的步数怎末定?每到一个节点用这个节点的数除以指定的整数,商是整数(余数是0),就不能移动;不能整除就用带余除法求余,余数是几就移几步(可选不同路径),超过一步就是跳跃。从出发点开始,反复用规则。还有,只许往终点方向走,不许往回。在找到达终点的路径后游戏结束。这帮助练习带余除法,探究整除规律;也可以想出 Smart Strategy,有 Strategy 助力,更快地做完。数学知识已融入了规则,玩中也学到了。

有孩子(愿意动脑筋,理解能力较强的孩子)在规律或者Smart Strategy被揭示出来后,一下子觉得简单了。这让他们体会到数学的威力!下一步呢?我们可以让他们出游戏题给别的孩子玩。啊哈!这是新挑战。比方说余数井游戏,到达终点的路径怎样掩藏起来不易被发现?若孩子真是出了难度较大的题目,那么(如条件允许)老师可以陪孩子玩。孩子化了心思的杰作一定要多与鼓励。让孩子在兴趣盎然中动了脑筋,开始用数学工具思考,表达和发展解决问题的能力。(还有一些图形简单变换的游戏,对于孩子理解形状,提高空间想象力特别有帮助,为省篇幅从略。)

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知道数独游戏的人比较多;知道余数井的人少多了。您想了解更多吗?或想了解一下游戏的难点,挑战之处在哪里?我们会在以后通过具体实际例子作更详细的介绍。

请您多多关注。

谈到游戏,想作个声明。没有说学数学不要下功夫,只是玩玩就可以了。但是,在今天,社会日益多元化,日渐丰富的计算机游戏抓住了孩子们。让不同禀赋的孩子都有兴趣学数学,愿意配合学,主动学,多走一步去探究深想一下问题,如何能做到?就成为很重要的课题。兴趣与热爱是学习中不衰的动力;教育中有重新认识游戏方法的必要。想让孩子参加数学竞赛的家长:在小学阶段,不能纯逼孩子做题,要让孩子乐学;大家有兴趣研究一下竞赛题的方向,会发现很多游戏化的数学问题。真兴趣培养起来了,能力和乐于探索挑战的精神也是可以加上的。当然,游戏方法需要和其他配合,如讲清概念,专题训练,给孩子提示重点等。

只要引导得当,孩子在高中以后数学方面的兴趣充分发展了,而由于学习任务加重,系统化学习会更好。从以游戏和活动为主(小学到刚进初中)到更加系统化的学习,作为家长和老师,就是帮孩子保持了好奇心和探索的热情,并且把学习推进到了一个更高阶段。

数学教育小故事 (之二) 向穷人施舍的规则

施舍的规则和社区成员财富的演化

在一个叫乌托锁的社区里,大家严格按照规则办事。社区里有土豪也有穷人。手里钱最多的人(即没有人比他钱更多)就是土豪,而钱最少的人(即没有人比他钱更少)就是穷人。按照规则,土豪要施舍给穷人。

现在乌托锁社区的人都到了,大家玩一个关于施舍的游戏。开始时所有人手里的钱都是1元的整倍数 (即没有角和分),而且全社区的财富(所有人手里的钱加起来)要超过1 元。游戏规则是:所有按规则认定为土豪的人要付给规则认定的穷人 1 元钱。这个过程将进行多轮:每轮付款结束后进入下一轮,直到下面两种情形之一发生:
(1)所有人口袋里的钱一样多(即均了贫富);这时没有土豪也没有穷人。
(2)游戏进入了循环,每个人发现他口袋里的钱回到了以前某一轮的数目;
游戏在这时宣告结束。

(有没有点象微信上的红包?当然,发红包没有严格的规则。)

在这个场景里,我们提几个有趣的问题。
问题1. 举例说明在有些情况下,游戏结束时可能有人欠债。
问题2. 如果社区有 n 个成员,那么社区总财富超过多少才能保证游戏结束时总没有人欠债呢?(社区里没有公共财富;总财富就是每个人手里的钱加起来。)
问题3. 假设 n=5 (即社区里有5个成员),如果玩这个游戏时结束在均贫富的状态(即最后每个人口袋里都有相同的钱),请列出游戏开始时所有可能的财富分配情况。

问题的原型是去年加拿大的公开数学挑战赛的一个问题。我们让叙述的方式有趣一点。
亲爱的读者,您想试试这个问题吗?我们会在以后公布答案。