水，肥皂泡沫，还有水立方的场馆象是不相干的话题。但是关于结构的研究和话题把他们联系到了一起。这背后的数学故事，亦引人入胜！

（一）

肥皂泡沫，各位洗头沐浴时一定见过。泡沫和水是分不开的。啤酒泡沫是另一种，里面也有水，飘浮在啤酒液体表面上。（据说倒啤酒的技巧体现在尽量少的泡沫 – 这是另话。）而水立方馆的建设，基于一种类泡沫结构：正式名称是 Weaire – Phelan 结构，在1994年通过物理实验和计算机启发算法找到。
而更奇妙的，从1873 年物理学家Joseph Plateau 提出来肥皂泡结构四定律，到Lord Kevin 1887 年的一篇论文给出肥皂泡结构的完整模型（基本定律在之前已作好，Kevin的贡献是建立了肥皂泡的多面体模型），再到2008年的水立方场馆，中间经过了135年。场馆的设计由澳大利亚一家 PTW 建筑结构公司完成。他们选择了类泡沫Weaire – Phelan 结构作为水立方的基本构成单元，是为了让场馆的落成成为体育，数学物理和设计艺术完美结合的庆典。当然，水立方名称的由来，来自中国人的哲学 — 对于水的喜爱。但是“立方”之名，可不是毫无道理：你见过大体方正，立方体形式的泡沫吗？本文就要跟你解释这些问题，原始素材取自 Matt Parker 的一篇科学读物。

小时候吹过肥皂泡吧？你一定记得肥皂泡泡有一个球形的表面，在阳光下泛出七彩。先从球形说起：第一，单独的肥皂泡是球形，这背后是有科学原理的，是因为在同样体积下球体的表面积最小（或说在同样表面积下球体的体积最大 – 称为球体的极值性质）。肥皂泡表面张力约束的是表面积： 大自然本身有优化的功能，所以你能吹出尽可能大的肥皂泡。第二，球体有极值性质当然好，但是用球去充满一个三维空间，却是相当差的选择。就像你拿圆形的硬币摆在桌上，要么硬币间有重叠，要么之间有空隙；你永远无法排出一个硬币间不重叠而能够盖满整个桌面的硬币阵列。球体也一样。把一堆橘子或苹果或西瓜排在那里，之间一定有缝隙：这有利通风保鲜；可也意味着运输时需要更大的空间。所以运输商总想找到更有效率的排法。结果呢，即便最有效的排法，也只能利用空间的 74.048%，略逊于 四分之三。当然如果不太贪心，这已经够好了：要不让水果喘气，会很快烂掉的。

当你观察一堆肥皂泡（或者啤酒泡）时，那些小泡泡并非球形：他们相互挤在一起时变化了形式。我们想找一个极端的列子：我们想观察有没有方的（或者大体是方的泡沫）。这当然要条件了。即使你把脸盆做成方的，把肥皂融在里面，也未必看到方肥皂泡。方形在需要充满整个空间时绝对是最佳选择。拿一堆小立方体是不是能够无缝地搭起一个大立方体来。

回到本题：是什么让科学家们对于泡沫结构如此着迷呢？泡沫结构有非常独特的性质。单独的肥皂泡是球形 – 满足极值原理；肥皂泡挤在一起是能够充满整个空间（差不多100% 充满），所以你洗头才好洗得干净。科学家Joseph Plateau设计的实验，真的观察到了方的肥皂泡。进一步观察揭示出：当肥皂泡挤在一时，呈现十二面体的结构：这个结构在边缘形成接近直角：形成好像“方型”泡沫。有人可能问，为什么不干脆是正方体呢？因为在同样体积下，肥皂泡十二面体的表面积比较立方体更小。在这里，“极值原理”起了作用。

“上善若水”，取自老子·道德经。这句话一直被推崇。水看来很柔，却能以柔克刚，锲而不舍地在大山中雕刻出深谷。那末泡沫呢？能圆能方，是不是很神奇！泡沫是球形的时候满足极值原理；是方形时其结构适应了环境，也没完全放弃极值原理；而是折衷妥协地恰到好处。和水比：泡沫真有青出于蓝而胜于蓝的味道。

奥运会馆的“水立方”，是2008年奥运会的主场馆之一，大家都已熟悉。下面是水立方正面壁的图案，我们看到啦许多五边形和六边形，他们接近 Weaire – Phelan 结构的立体展开图 （不完全是：为加强视觉效果，图中的多边形做了一些随机扭曲）。仔细看一看，欣赏喔！

如果你的好奇心被激发了，恭喜你！若是还有进一步探究的愿望：本文有第二部分，什么是占据空间的百分比，肥皂泡正12面体的结构，还有 Weaire – Phelan 如何改进了泡沫结构，创造了胜过自然的结构（仍可以充满空间，但是同样体积约束下表面积更小）。

请继续阅读。

（二）

一个多面体不重叠地占据空间的百分比（即是 Tiling efficiency）是怎么计算出来的。我们简单举个例子：计算圆形占据平面的百分比的最大值。想象一下把圆尽量紧密地排列在一起，但是不许重叠，不许变形（No overlap，No deformation), 圆还得是圆：这样最多能占据多少空间？这个技术问题说起来相当化时间，也有点沉闷；但是有助于准确深入地理解我们讨论的问题。我们暂时略去了。

好，现在要仔细说肥皂泡了，先从肥皂泡四定律开始说起。头二条好简单，说肥皂泡总是看起来很酷，表面光滑；且各处弯曲程度相等 （就是曲面曲率各处相等）。后二条是泡泡之间的几何关系，说它们的面总是三个一组相交成为边，而这些边呢四个一起相交形成顶点。这就是也许不那么出名，却是对探求肥皂泡结构至关重要的肥皂泡四定律，由物理学家 Joseph Plateau 在1873 年提出。

方肥皂泡有12面体结构：如下图所示。

每个面都是一个五边形；注意不是正五边形，其中一边要比其他四边都长一些： 按比例大约是 1.31 ：1。这是平面展开图，在北美的教材中被称作 Net。如果还不明白，它旁边的小图是长方体的 Net。简单说，Net 的每个多边形是一个面，在两个多边形相交的地方折叠一下，折成一定角度，然后让所有的面围成一个封闭空间，然后用胶水粘结起来，就做成了 （真的多面体）！立方体比较简单，全部折成直角。肥皂泡的12 面体该折成什么角度 – 那还要复杂一些了。师从自然，我们感受一下效果吧。

如方肥皂泡立体效果图所示：外面的立方体是一个线架，悬空在中间的是就是方肥皂泡：注意观察在顶点周围弯曲的情况。
Joseph Plateau 观察到的方肥皂泡不是严格方的，在各个顶点上形成略大于90 度的钝角。说明一下，这个结构完全满足 Plateau 的肥皂泡四定律。呵，有人惊讶：前述12面体就是这个样子吗？是啊！看起来真像正方体，只在角顶点有点弯曲：而细究其结构，既复杂又简单！（初看复杂，其实各个面都是一样的：所以还算简单呢 — 或说蛮酷啊）

接下来就要看 Weaire – Phelan 结构啦。它的Net 如下面图所示。数一数一共 14 个面：其中的12个每个面还是五边形， 但是看起来更不规则，有两个对边特长，有两个临边相等，还有一边特短 （按比列是 1 ：0.86 ：0.86 ：1 ： 0.576）。还有两个面是不规则六边形，有一对边特长，是其他边的 1.52 倍。六个这样的结构折叠起来在空间拼合，其效果图画在旁边：请注意，接合处应当没有缝隙（当然图中稍微错开了一点，以便读者看得清楚；延伸的阴影显示接合面）。

Wearie-Phelan 结构显然是受到了肥皂泡结构的启发。那末怎样比较他们的性能呢？他们都能充满整个空间，在这一点上无分伯仲。于是比较同样体积下的表面积。因不规则性，计算起来是够复杂的，我们不Bother 读者具体过程了，就说一下结果。首先与正四面体结构，正六面体（即立方体结构）相比，在相同体积时，肥皂泡结构的表面积明显缩小（这倒可以算；读者不妨试算或去问数学老师）。而在同样体积下，Wearie-Phelan 结构的表面积比肥皂泡结构还要小 0.3% （即是后者的 0.997）。通过计算机穷举验证，Wearie-Phelan 是所有用全等结构（即大小形状一样）完全充满空间的结构中表面积最小的，但也只是小了 0.3%。可见造化的神奇，给人们留的优化空间相当有限。考虑到肥皂泡结构的相对简单性，是否可以说：大自然不做过度优化而恰到好处。

这个数学故事讲完了。我们得到怎样的启示呢？从中我们惊叹自然的神奇，也可惊叹人类思考力和创造力的伟大。肥皂和啤酒的特征是表面张力较大，易形成泡沫。虽是人类所造，但是冥冥中契合了自然的原理：大自然给了泡沫优美的形状和特性：既部分满足极值原理，又能充满全空间。在这一点被揭示出来之前，没有人意识到泡沫如此神奇。是造化的神奇，还是思想的威力？都是。而Wearie-Phelan 结构的提出，则是把这个结构最终推向了极致 – 树立了人类探索和创造的一个丰碑。

这个故事也让我们领会到数学和科学的力量：如果自然是一本书，那末这本书主要是用数学和物理的语言写成的。读懂这本书不易 – 但真的有趣有味道，引人入胜！