分数运算的学习，涉及到两个重要方法：约分和通分。相关的两个概念，是最大公约数（GCD, or GCF – Greatest Common Factor) 和最小公倍数 (LCM – Least Common Multiple)。这两个概念是分数教学中的难点。能不能让孩子学得不那末痛苦呢？可以，我们可以引入一些数学活动或者游戏。

下面介绍在美国老师（当然是好老师）作的一个 GCF-LCM 游戏： 也可叫最简分数游戏。是一套实验教材中介绍的，下图是游戏的基本图式。给定两个数一左一右，公倍数LCM 写在上方，公约数 GCF写在下方。

也许你说，这叫啥游戏啊？除了GCF和 LCM 的概念外，没带来新东西。也没有变化，没趣。其实不然。
我们先看求最小公倍数（LCM）的一个快捷方法：给两个数，先找GCF，然后从一个数中把GCF约去，再去乘另一个数。如求21 和 28 的LCM。找到GCF 是7，从28中约去7 得4，再用4去乘21，结果是 84. — 这就是他们的 LCM。有的学生从玩游戏中发现了这个规律。由于在图示的框架下，两个数以及GCF，LCM写在了菱形的四角上，在老师启发下学生是可以观察到规律的。在发现这个规律前，孩子通常做的是：

21 的 公倍数：21，42，63，84，105 ……
28 的 公倍数：28，56，84，112 ……

圈出两个序列中相同的第一个数，就是 LCM。没有相同的，就延伸序列再找。

我们的快捷方法是不是要快得多？而且从算法上是“安全”的：如果找到的公约数不是最大的，仍然可依此算出一个公倍数，只不过不是最小的；找到的公约数太大呢？包含了不应计入的因子；那末做约分（除法）时就发现了问题：赶紧回去订正公约数。

再往前走一步，有人注意到菱形的两个对角线上的乘积相等吗？这是必需的，否则一定填写有误啦！就是说 LCM(a,b) 乘以 GCF(a,b) 的乘积一定是 ab.

稍微变一下问题。A. 如果给出两个数中的一个，再给出他们的GCF，能否求出 LCM呢？B. 给出两个数中的一个和他们的LCM，能否求出 GCF呢？
问题A可以作出好多的（无穷个）解：给出了GCF 后，我们要求另一个数要含GCF 以及不含已经在这数中的其他因子，除此以外别无限制。这样LCM有好多可能性。例如给出了一个数是21，两数的GCF是7；那末另一个数必须含因子 7，不能含因子3；但是可含因子 11，13, 或者 11 x 49，都是允许的。满足条件的一个解可能是 7 x 11 x 49: 这样的解就太多了。
问题B一般也会有多解：但是解的个数有限。因为给出了LCM，就限制了两个数都不能太大（起码不能比所给的 LCM 更大吧）。如给出一个数是28，两数的LCM是84. 注意到84 = 28 x 3, 这个3 不是28 的因子；所以一定要出现在另一个数中。这个数的其他因子一定要来自28 的因子；如 2，4，7，14 还有28. 所有可能的解是 3，6，12，21，42 和84. 这些数和 28 的LCM 是84. 至于GCF呢，就分别情况来求吧。

看一下GCF – LCM 网。游戏变得更有趣一些了！[这类游戏编写的一个拿手好戏，就是通过组合创造一些复杂性，增加一些建立在简单基础上的挑战；增加的一点波澜，会刺激孩子的兴趣，及学会观察思考，学会自己思考解决问题。]
如图所示，要在三个圈里填数：按照基本图示理解：两数的GCF 是1， LCM 是 28. 数28 和 第三数的LCM 是 112，二者的GCF 是刚才提到的两数之一。注意至少给出一个LCM 是很重要的，否则有无穷解 （无法定解）。上例是最简单的 GCF – LCM 网，通过更多的链接，可以造出更复杂的网（也别太复杂，适可而止）。

从教育角度说两句。为啥不直接使用分数计算作题海训练呢？一是引入变化增加了趣味性，让孩子爱做配合训练；二是通过图示框架观察找规律，孩子在启发下自己发现规律才印象深，也学会思考；第三：图上作业和单用数字文字比，更有意思，也在反复中比较 GCF 和 LCM 的区别和联系；达到概念清晰，熟练基本技巧–- 其实掌握任何技巧都需要一定量的训练。学习和训练中有阈值原理，要达到定量超越阈值，学习成果才能巩固下来。说明一点: LCM 和 GCF 的概念需要在游戏前介绍 — 最好配有例子； 这个游戏不是用来讲概念的，也是为了复习概念，再熟悉计算提高运算技巧。
最后同样重要的一点，研究思维科学的人特别强调简单图示的意义：在概念形成阶段，图示能在框架下简单清晰地表达概念联系，让我们的思维聚焦。等到完全想好后再用文字写清楚。这个原理在游戏中得到了应用。 游戏作玩后告诉学生GCF，LCM 的直接应用是分数计算：这时作分数计算（通分约分）就不畏难了，还觉得兴趣盎然。[还有的老师是先教了通分约分再来介绍这个游戏 — 这样学生们可以通过游戏熟悉 GCF，LCM 的概念和计算。] 学生们对于概念的理解更加深入，计算能力也有提高 — 算得更快！

留给读者一个问题。

您能完成左边的问题吗？还有前面给出的 GCF-LCM 网的那个问题？
左边问题的解释是（回忆基本图示）：求一个数，与 22 的最小公约数是242；并且求出其与22 的最大公约数。提示：答案不唯一。

数学新书 新实验教材: Beast Academy 今年春天最新出版 Math 5B

Beast Academy 花费数年精力打造实验教材，陆续推出了Math 1-4用于小学1-4 年级数学，并在去冬今春推出了 Math 5A 5B, 其中 Math 5B 刚刚发布 （2016.4月底）。经了解 Math 5C 5D 也将在不久推出。这套书在美国出版，里面融入了不少新鲜的教育理念，特别是通过丰富的数学活动和游戏，强化重点，突破难点，寓教于乐。有不少可圈可点之处。尤其可贵的是，数学活动和游戏的引入不是单摆浮搁，而是与教学知识点紧密结合。通过启发的方式引导孩子乐于探索。在教材各书内容的衔接上也有严谨的处理，有前瞻性的内容，也有温故知新的内容。在美国的一些教育和经济相对先进的地区（如硅谷的湾区），这套教材成为了学生，教师和家长的热追。

Math 4B, 4C, 4D, 5A 的部分内容，在Jonah‘s Math Corner 今年一月份起开设的 5 年级数学班上试用，学生和家长都觉得有意思，给出了积极正面的评价反馈。Math 5B 开始大大强化了分数教学（Fraction，如 5/12 + 2/15 = ？）的内容，启发孩子把计算和思考逻辑联系起来，使用的平台仍然是数学活动和游戏。内容上比较北美的其他教材要深一些，但是不枯涩，反而妙趣横生，又循循善诱，启人深思。孩子作为学习者的好奇心一旦被调动起来，就会乐学，愿意和主动去做更多的问题。这也正是在我们在试用之中发现的。

Math 5B 5C 5D 出全以后，从内容上完全覆盖了小学教学的知识点（按照加西，或者Alberta 的大纲，已经覆盖到 6 年级以上内容），并有所超越。这样一套培养孩子兴趣，长知识又长能力的教材，值得向小学生和家长们推荐。也要指出，启发性的教材，其实是对教师提出了更高的要求。因此用这套教材，应在懂得数学教育的老师带领下学习。感谢编写者的努力！在当前作数学数学教育不易，编者能够锲而不舍，把这件事做下去做好。我们也期待这套教材的出版和试用，能帮助更多孩子，从小爱学习，真正掌握数学的方法。

在近期，Jonah’s Math Corner将会结合这套书的内容，就怎样把数学活动，游戏和学习数学概念方法相结合，作一点具体的，导引式的介绍。

爱玩耍爱游戏是儿童的天性。玩游戏也可以学数学吗？当然，在一定条件下是可以的。关键是玩法得当，在高手引导下或好老师指导下收获最大，进步也快。

玩游戏学数学，非自今日提出，但是多数家长对之有戒心，可说是没成气候。究其原因呢，许多人头脑里有个框，认为学数理化就得正襟危坐，一本正经，学和玩扯不到一块。这种观念的效果不一定是促进学习，反而让孩子提不起劲学习，也给家长拿来“我的孩子不是学数学的料”，最终放松乃至完全放弃数学学习。

游戏呢不光是计算机上的数学游戏（大家对于计算机游戏已了解较多），更主要的是含有“数学元素”。

什么是数学元素呢？不只是传统的代数几何三角分析，也有逻辑，组合问题和博弈策略。这类游戏中，有的是用数学方法分析传统的游戏，让学习者看到游戏背后的数学道理（一些教师，科普期刊，网上学习站做了努力）。还有的是把数学观念或者事实融合在游戏中；在玩游戏的过程中同时应用数学概念发展游戏策略。这后一种游戏引起了教育者越来越多的认真的兴趣。这种数学游戏也可以看作是头脑实验的雏形，或者融入了数学原理的益智活动。游戏可以在计算机上玩，但是在纸上作最好。我们借这个机会分享一下。

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为不致空泛，我们来看两个简单游戏：1. 数独游戏； 2. 余数井跳跃游戏。涉及到的知识主要是逻辑和简单算术，尤其适合在小学高年级到刚进初中阶段（4-7 年级）的学习。

第一个是数独游戏 (Sudoku)。这个游戏的发明人就叫 Sudoku。常见的格式是一个正方形分成 3 × 3 的 9 个小正方形，每个小正方形又有 3 × 3 的9个小格子；总共81 个小格子。在每一行，每一列，每个小正方形中数字 1 – 9 都要出现一次。（中文把这个游戏译成数独，很妙！）游戏开始时在若干格子里给了数字，参加游戏的人接下去把它填好。如果给的数字少，最终填数的答案是唯一的（或有两三个也可以），那末游戏的难度就大。这个游戏吸引了很多人，很益智力，也帮助理解数学方法。

余数井游戏（Jump Between Wells of Remainders）　– 示例

第二是余数井游戏。在一张图上玩：有出发点（Start）和终点（Finish）。图的每个节点往下走常会有几条不同路径。这图比线性链条稍复杂一点，乍一看像项目管理的节点图。每节点有一个整数，出发点的上方指定了一个除数（整数）。玩法很简单，规则定步数，你选路径。每次移的步数怎末定？每到一个节点用这个节点的数除以指定的整数，商是整数（余数是0），就不能移动；不能整除就用带余除法求余，余数是几就移几步（可选不同路径），超过一步就是跳跃。从出发点开始，反复用规则。还有，只许往终点方向走，不许往回。在找到达终点的路径后游戏结束。这帮助练习带余除法，探究整除规律；也可以想出 Smart Strategy，有 Strategy 助力，更快地做完。数学知识已融入了规则，玩中也学到了。

有孩子（愿意动脑筋，理解能力较强的孩子）在规律或者Smart Strategy被揭示出来后，一下子觉得简单了。这让他们体会到数学的威力！下一步呢？我们可以让他们出游戏题给别的孩子玩。啊哈！这是新挑战。比方说余数井游戏，到达终点的路径怎样掩藏起来不易被发现？若孩子真是出了难度较大的题目，那么（如条件允许）老师可以陪孩子玩。孩子化了心思的杰作一定要多与鼓励。让孩子在兴趣盎然中动了脑筋，开始用数学工具思考，表达和发展解决问题的能力。（还有一些图形简单变换的游戏，对于孩子理解形状，提高空间想象力特别有帮助，为省篇幅从略。）

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知道数独游戏的人比较多；知道余数井的人少多了。您想了解更多吗？或想了解一下游戏的难点，挑战之处在哪里？我们会在以后通过具体实际例子作更详细的介绍。

请您多多关注。

谈到游戏，想作个声明。没有说学数学不要下功夫，只是玩玩就可以了。但是，在今天，社会日益多元化，日渐丰富的计算机游戏抓住了孩子们。让不同禀赋的孩子都有兴趣学数学，愿意配合学，主动学，多走一步去探究深想一下问题，如何能做到？就成为很重要的课题。兴趣与热爱是学习中不衰的动力；教育中有重新认识游戏方法的必要。想让孩子参加数学竞赛的家长：在小学阶段，不能纯逼孩子做题，要让孩子乐学；大家有兴趣研究一下竞赛题的方向，会发现很多游戏化的数学问题。真兴趣培养起来了，能力和乐于探索挑战的精神也是可以加上的。当然，游戏方法需要和其他配合，如讲清概念，专题训练，给孩子提示重点等。

只要引导得当，孩子在高中以后数学方面的兴趣充分发展了，而由于学习任务加重，系统化学习会更好。从以游戏和活动为主（小学到刚进初中）到更加系统化的学习，作为家长和老师，就是帮孩子保持了好奇心和探索的热情，并且把学习推进到了一个更高阶段。

交流：什么是数学能力？在小学和初中 怎样帮孩子的学习？

数学能力是联合国教科文组织描述的现代人必备能力之一，因为人在社会中理解，思考，选择，行动的能力，不能完全离开对于数和形状的认知，及对于基于逻辑的思维方法的把握。好的数学教育，是在孩子成长阶段，打下让孩子受用一生的基础。

我们在最近一段时间，特别聚焦从小学高年级到初中阶段的数学。从数学教育的规律，包括数学教育实践，我们认为这是数学能力成长的关键阶段。聚焦小学和初中数学：围绕关于数学学习的认识，怎么学，家长能够帮孩子作什么。我们想就下列问题和家长们沟通交流。

• 小学数学学什么；只是加减乘除的算术吗？初中是孩子在数学学习上的第一次飞跃，您觉得对吗？
• 数学做出得数就够了吗？什么是数学表达；为什么说初中是发展数学表达能力的关键阶段？
•  数学兴趣是天生的还是要培养？给孩子做题是培养兴趣的恰当方式吗？
• 怎样启发和引导孩子在学习方式上的提升？
• 课外辅导目的是什么？选择课外辅导哪方面的考量最重要？
• “在北美，初中以下的数学教育都特别Easy，所以要抓孩子数学和科学教育，从高中开始就行了。”您同意吗？
• 小学初中都太Easy了，一定要给孩子报竞赛，就孩子去拿满分。您同意吗？
• 考试或竞赛拿满分，是否一定表示学的好，能力强？
• 初中打好基础好，还是初中放松一点，高中再抓数学学习？

还有一些很具体的问题，如怎样培养孩子的好习惯，对于跳级学习和专攻数学竞赛怎么看，为什么会有梯次掉队的现象（小学好初中成绩下降，或者初中优异到高中忽然吃力等），再有中西数学和科学教育上各自的长处，短板或者偏颇之处；都不是一两句话能够说得清楚的。

标准答案不是最佳的沟通方式；有的问题本来就没有固定答案。我们愿意和大家共同探讨，通过多种方式和家长们互动沟通。请关注公告和有关信息的更新：在Jonah’s Math Corner，我们期待并感谢您的积极参与。